Sổ tay Công thức Toán cho các nhà kinh tế

Sổ tay diễn giải các công thức cốt lõi thành những công cụ trực quan, giúp bạn tra cứu nhanh chóng, hiểu sâu sắc và vận dụng hiệu quả các khái niệm giải tích vào việc phân tích và giải quyết các bài toán kinh tế, minh họa bằng các ví dụ thực tế được trích dẫn trực tiếp từ các đề thi.

=> Seri 4 buổi zoom - chuỗi ôn tập cấp tốc cuối kỳ TOÁN CHO CÁC NHÀ KINH TẾ - Lấy ngay A+ cùng mentor Phạm Thanh Tuấn ngày 30/12/2025. ĐĂNG KÝ MIỄN PHÍ TẠI ĐÂY

Danh mục
Tài liệu được chia thành ba phần chính, tương ứng với các cột trụ của giải tích:

Đạo hàm: Khám phá khái niệm "cận biên" và các bài toán tối ưu hóa.
Tích phân: Tính toán các giá trị tổng tích lũy như thặng dư thị trường và giá trị dòng tiền.
Hàm nhiều biến: Phân tích các mô hình kinh tế phức tạp với nhiều yếu tố đầu vào.

Mỗi phần sẽ đi từ công thức cốt lõi, diễn giải ý nghĩa kinh tế, và cuối cùng là các ví dụ ứng dụng cụ thể.

1. Đạo hàm và Ứng dụng trong Kinh tế

Đạo hàm là công cụ toán học dùng để đo lường "tốc độ thay đổi" của một đại lượng. Trong kinh tế học, đây chính là nền tảng cho các khái niệm "cận biên" – một trong những ý tưởng cốt lõi nhất để phân tích quyết định kinh tế.

1.1. Tốc độ thay đổi và Ý nghĩa Cận biên

1. Công thức Đạo hàm
Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x được ký hiệu là f'(x) hoặc dy/dx.
2. Diễn giải Ý nghĩa
Đạo hàm đo lường tốc độ thay đổi tức thời của hàm số. Trong kinh tế, nó thể hiện sự thay đổi của một đại lượng kinh tế khi một đại lượng khác thay đổi một đơn vị rất nhỏ. Các khái niệm cận biên chính là ứng dụng trực tiếp của đạo hàm:

Chi phí cận biên (MC): Đạo hàm của hàm tổng chi phí.
Doanh thu cận biên (MR): Đạo hàm của hàm tổng doanh thu.
Sản lượng cận biên (MP): Đạo hàm của hàm sản xuất.

3. Ví dụ Ứng dụng - Tốc độ lây nhiễm dịch bệnh

Bài toán (Câu 3, ĐỀ SỐ 16): Một nghiên cứu cho thấy t ngày sau khi dịch bệnh khởi phát, số người bị nhiễm bệnh là N(t) = 15t³ + 6t + 12√t.
Yêu cầu: Tìm tốc độ gia tăng số người nhiễm bệnh.
Hướng dẫn:
- Tốc độ thay đổi chính là đạo hàm của hàm số người nhiễm bệnh: N'(t).
- Để biết tốc độ gia tăng vào ngày thứ chín, ta chỉ cần tính N'(9).
- Kết quả của N'(9) cho biết tại thời điểm ngày thứ chín, số ca nhiễm mới dự kiến tăng thêm là bao nhiêu người mỗi ngày.

Buổi 1 trong seri buổi tổng ôn cuối kì toán cho các nhà kinh tế NEU mentor Phạm Thanh Tuấn

=> Tham khảo seri buổi còn lại tại đây
=> Luyện đề nhiều hơn với kho đề Toán tại đây
=> Luyện đề bổ sung từ ebook tại đây
=> Giải sách bài tập toán cho các nhà kinh tế mới nhất 2025

1.2. Tối ưu hóa trong Kinh tế (Tìm Cực trị) 1. Nguyên tắc Tối ưu hóa
Để tối đa hóa (lợi nhuận, doanh thu, sản lượng) hoặc tối thiểu hóa (chi phí), nguyên tắc cơ bản là tìm các điểm tới hạn bằng cách giải phương trình đạo hàm bậc nhất bằng không: f'(x) = 0.
2. Ví dụ Ứng dụng - Tối đa hóa Lợi nhuận
Hầu hết các doanh nghiệp đều hướng tới mục tiêu tối đa hóa lợi nhuận. Về mặt kinh tế, điều này đạt được khi doanh thu cận biên bằng chi phí cận biên (MR = MC). Về mặt toán học, điều này tương đương với việc tìm điểm mà đạo hàm của hàm lợi nhuận bằng không, vì P'(x) = R'(x) - C'(x) = MR - MC.

Bài toán Ví dụ (Câu 27, Đề 2 T6-24)	Hàm Lợi nhuận P(x, y)	Điều kiện Tối ưu
Tối đa hóa lợi nhuận cho 2 sản phẩm	Lợi nhuận được tính bằng P = Doanh thu - Chi phí. Dựa trên bài toán cho, với giá bán p = 90 - x, q = 120 - 2y, và hàm chi phí C(x, y) = x² + xy + y², hàm lợi nhuận sẽ là: P(x,y) = [x(90-x) + y(120-2y)] - (x² + xy + y²).	Để tìm mức sản lượng x và y mang lại lợi nhuận tối đa, ta cần giải hệ phương trình đạo hàm riêng bậc nhất bằng không: ∂P/∂x = 0 ∂P/∂y = 0

3. Ví dụ Ứng dụng - Tối thiểu hóa Chi phí Trung bình

Bài toán (Câu 15, ĐỀ 2 T6-24): Chi phí để xây một tòa nhà n tầng là C(n) = 3n² + 700n + 1200 (nghìn đô-la).
Yêu cầu: Nên xây bao nhiêu tầng để chi phí trung bình mỗi tầng là thấp nhất?
Hướng dẫn:
- Lập công thức chi phí trung bình: AC(n) = C(n)/n = 3n + 700 + 1200/n.
- Tìm đạo hàm AC'(n).
- Giải phương trình AC'(n) = 0 để tìm số tầng n giúp tối thiểu hóa chi phí xây dựng trung bình.

1.3. Hệ số co giãn của Cầu theo Giá

1. Công thức
Hệ số co giãn của cầu theo giá đo lường mức độ phản ứng của lượng cầu khi giá thay đổi. E(p) = (p/q) * (dq/dp)
2. Diễn giải Ý nghĩa
Giá trị tuyệt đối của E(p) giúp doanh nghiệp ra quyết định về giá bán:

|E| > 1: Cầu co giãn. Lượng cầu rất nhạy cảm với giá. Nếu tăng giá, tổng doanh thu sẽ giảm.
|E| < 1: Cầu không co giãn. Lượng cầu ít nhạy cảm với giá. Nếu tăng giá, tổng doanh thu sẽ tăng.
|E| = 1: Cầu co giãn đơn vị. Doanh thu đạt mức tối đa.

3. Ví dụ Ứng dụng

Bài toán (Câu 24, ĐỀ SỐ 16): Hệ số co giãn của cầu được cho bởi E(p) = 5p / (18 - p²).
Yêu cầu: Phân tích ảnh hưởng đến doanh thu nếu tăng giá từ mức p = 6.
Phân tích:
- Ta tính giá trị của E(p) tại p = 6: E(6) = (5 * 6) / (18 - 6²) = 30 / (18 - 36) = 30 / -18 = -5/3.
- Vì |E(6)| = 5/3 > 1, cầu là co giãn (elastic). Điều này có nghĩa là tại mức giá $6, người tiêu dùng rất nhạy cảm với sự thay đổi giá. Do đó, nếu nhà sản xuất tiếp tục tăng giá, phần trăm sụt giảm về lượng cầu sẽ lớn hơn phần trăm tăng giá, dẫn đến tổng doanh thu sẽ giảm.

Nếu đạo hàm giúp chúng ta phân tích các thay đổi "cận biên", thì tích phân cho phép chúng ta tính toán các giá trị "tổng tích lũy", chẳng hạn như tổng doanh thu hoặc thặng dư thị trường.

=> Tham gia nhóm tự học Toán cho các nhà kinh tế NEU - có hơn 2450 bài tập được giải trong giáo trình và các video hướng dẫn miễn phí

2. Tích phân và Ứng dụng trong Kinh tế

Tích phân là công cụ dùng để tính tổng giá trị tích lũy từ một hàm tốc độ thay đổi (ví dụ: tính tổng chi phí từ chi phí cận biên).

2.1. Tìm hàm Tổng từ hàm Cận biên

1. Nguyên tắc
Nếu biết hàm cận biên (ví dụ: chi phí cận biên MC(q)), ta có thể tìm lại hàm tổng bằng cách lấy tích phân. Tổng chi phí C(q) sẽ bằng tổng chi phí biến đổi (tích phân của MC(q)) cộng với chi phí cố định C(0). C(q) = ∫ MC(q) dq + C(0)
2. Ví dụ Ứng dụng

Bài toán (Câu 29, ĐỀ 2 T6-24): Chi phí cận biên là MC(q) = 9q² - 12q + 6 và chi phí cố định là C(0) = 350.
Yêu cầu: Tìm tổng chi phí để sản xuất 10 đơn vị sản phẩm.
Hướng dẫn:
- Tính tích phân bất định của MC(q) để tìm hàm chi phí biến đổi VC(q) = ∫ (9q² - 12q + 6) dq.
- Lập hàm tổng chi phí: C(q) = VC(q) + 350.
- Thay q = 10 vào C(q) để tìm kết quả.

2.2. Thặng dư của Người tiêu dùng và Nhà sản xuất

Thặng dư đo lường "lợi ích ròng" mà người tiêu dùng và nhà sản xuất nhận được khi tham gia thị trường tại một mức giá cân bằng.
1. Công thức

Tên gọi	Công thức
Thặng dư Tiêu dùng (CS)	∫[0 đến Q₀] D(Q) dQ - P₀Q₀
Thặng dư Sản xuất (PS)	P₀Q₀ - ∫[0 đến Q₀] S(Q) dQ

Trong đó:

P₀, Q₀) là điểm cân bằng
D(Q) là hàm cầu
S(Q) là hàm cung.

2. Ví dụ Ứng dụng - Thặng dư nhà sản xuất

Bài toán (Câu 11, ĐỀ SỐ 16 & Câu 5, ĐỀ 3 T6-24): Cho hàm cung ngược p = S⁻¹(Q) = 0.4Q² + 0.3Q + 50 và điểm cân bằng thị trường là (P₀, Q₀) = (702, 40).
Yêu cầu: Tính thặng dư của nhà sản xuất.
Hướng dẫn:
- Thặng dư của nhà sản xuất (PS) là phần chênh lệch giữa tổng doanh thu thực tế tại giá cân bằng (P₀Q₀ = 702 * 40) và tổng chi phí biến đổi (tích phân của hàm cung từ 0 đến Q₀). Lưu ý rằng công thức tích phân yêu cầu hàm cung S(Q) (giá theo sản lượng), và bài toán đã cung cấp trực tiếp hàm này dưới dạng p = S⁻¹(Q).
- Thiết lập công thức tính: PS = (702 * 40) - ∫[0 đến 40] (0.4Q² + 0.3Q + 50) dQ.

2.3. Giá trị của Dòng tiền

1. Công thức
Để xác định giá trị của một dòng tiền thu/chi trong tương lai tại thời điểm hiện tại, ta sử dụng công thức Giá trị Hiện tại (PV) với lãi suất chiết khấu r. PV = ∫[0 đến T] R(t) * e⁻ʳᵗ dt
Trong đó R(t) là tốc độ của dòng tiền tại thời điểm t.
2. Ví dụ Ứng dụng

Bài toán (Câu 5, ĐỀ SỐ 16): Một khoản vay được trả bằng dòng tiền liên tục f(t) = 0.5t + 3 (triệu đô la/năm) từ năm thứ 5 đến năm thứ 15, với lãi suất r = 6%.
Yêu cầu: Tính giá trị hiện tại của dòng tiền trả nợ này.
Hướng dẫn:
- Thiết lập biểu thức tích phân, lưu ý rằng cận tích phân là từ 5 đến 15: PV = ∫[5 đến 15] (0.5t + 3) * e⁻⁰.⁰⁶ᵗ dt
- Ý nghĩa: Kết quả PV là số tiền cần có ở hiện tại để có giá trị tương đương với toàn bộ dòng tiền sẽ được trả trong khoảng thời gian từ năm 5 đến năm 15.

Các khái niệm trên rất hữu ích cho các mô hình một biến số. Tuy nhiên, trong thực tế, sản lượng thường phụ thuộc vào nhiều yếu tố đầu vào, đòi hỏi chúng ta phải sử dụng hàm nhiều biến.

3. Hàm nhiều biến và Ứng dụng trong Kinh tế

Trong kinh tế, các mô hình thực tế thường liên quan đến nhiều biến số (ví dụ: sản lượng phụ thuộc vào vốn và lao động). Giải tích hàm nhiều biến cung cấp công cụ để phân tích các mối quan hệ phức tạp này.

3.1. Đạo hàm riêng và Sản lượng Cận biên

1. Công thức Đạo hàm riêng
Đạo hàm riêng của hàm f(x, y) theo biến x được ký hiệu là ∂f/∂x, tính bằng cách coi y là hằng số và lấy đạo hàm theo x. Tương tự với ∂f/∂y.
2. Diễn giải Ý nghĩa
Đạo hàm riêng đo lường tác động của riêng một biến đầu vào lên biến đầu ra, trong khi giữ các yếu tố khác không đổi.

Ví dụ: ∂Q/∂L trong hàm sản xuất Q(K, L) chính là sản lượng cận biên của lao động (MPL). Nó cho biết sản lượng Q sẽ thay đổi xấp xỉ bao nhiêu nếu tăng thêm một đơn vị lao động L, trong khi giữ nguyên lượng vốn K.

3. Ví dụ Ứng dụng - Hàm sản xuất Cobb-Douglas

Bài toán (Câu 15, ĐỀ SỐ 16): Hàm sản xuất của một nhà máy là Q(K, L) = 50K⁰.⁴L⁰.⁶, trong đó K là vốn và L là lao động.
Yêu cầu: Tìm sản lượng cận biên của vốn khi K = 750 và L = 991.
Hướng dẫn:
- Tính đạo hàm riêng theo vốn: ∂Q/∂K.
- Thay các giá trị K = 750 và L = 991 vào biểu thức ∂Q/∂K.
- Ý nghĩa: Kết quả cho biết sản lượng sẽ tăng thêm xấp xỉ bao nhiêu đơn vị nếu vốn đầu tư tăng thêm 1 đơn vị (ví dụ: $1,000) từ mức hiện tại, trong khi số giờ lao động không đổi.

3.2. Tối ưu hóa có ràng buộc (Phương pháp Nhân tử Lagrange)

Đây là phương pháp mạnh mẽ để tìm giá trị tối đa hoặc tối thiểu của một hàm số khi các biến của nó bị giới hạn bởi một hoặc nhiều điều kiện ràng buộc (ví dụ: tối đa hóa sản lượng với ngân sách có hạn).
1. Thiết lập hàm Lagrange
Để tối ưu hóa hàm f(x, y) với điều kiện ràng buộc g(x, y) = k, ta thiết lập hàm Lagrange: L(x, y, λ) = f(x, y) - λ[g(x, y) - k]
2. Hệ phương trình điều kiện
Điểm tối ưu là nghiệm của hệ phương trình sau:

∂L/∂x = 0
∂L/∂y = 0
∂L/∂λ = 0 (phương trình này chính là điều kiện ràng buộc g(x,y) = k)

3. Ví dụ Ứng dụng - Tối đa hóa Sản lượng với Ngân sách giới hạn

Bài toán (Câu 17, ĐỀ SỐ 16): Tối đa hóa sản lượng Q(x, y) = 120x⁰.⁵y⁰.⁵ với x là đơn vị lao động và y là đơn vị vốn.
Ràng buộc: Giá lao động là $30/đơn vị, giá vốn là $60/đơn vị, và tổng ngân sách là $600.
Hướng dẫn:
- Bước 1: Viết phương trình ràng buộc ngân sách 30x + 60y = 600
- Bước 2: Thiết lập hàm Lagrange L(x, y, λ) = 120x⁰.⁵y⁰.⁵ - λ(30x + 60y - 600)
- Bước 3: Giải hệ phương trình Việc giải hệ ba phương trình đạo hàm riêng của L (theo x, y, và λ) sẽ cho ta số đơn vị lao động x và vốn y tối ưu để đạt sản lượng cao nhất trong giới hạn ngân sách $600.

4. Ý nghĩa của Nhân tử Lagrange (λ)
Nhân tử Lagrange, λ, còn được gọi là "giá bóng" (shadow price), mang một ý nghĩa kinh tế quan trọng.

Diễn giải: λ cho biết giá trị tối ưu của hàm mục tiêu (ví dụ: sản lượng tối đa) sẽ thay đổi xấp xỉ bao nhiêu nếu nới lỏng điều kiện ràng buộc (ví dụ: ngân sách) thêm 1 đơn vị.
Ví dụ (Câu 24, ĐỀ 2 T6-24): Nếu ngân sách k tăng thêm 3 đơn vị và giá trị λ tính được là 2, thì sản lượng tối đa sẽ tăng thêm xấp xỉ 3 * λ = 6 đơn vị. Điều này giúp nhà quản lý đánh giá được lợi ích của việc tăng thêm ngân sách.

Với Sổ tay Công thức Toán cho các nhà kinh tế – tài liệu tra cứu siêu trực quan, hệ thống hóa các công thức cốt lõi cùng ví dụ minh hoạ thực tế – bạn đã có trong tay “bản đồ” lý thuyết quan trọng nhất cho học phần giải tích áp dụng trong kinh tế. Nhưng để chinh phục điểm cao trong kỳ thi cuối kỳ, việc nắm công thức thôi là chưa đủ: bạn cần luyện tập có phương pháp, hệ thống các dạng bài trọng tâm và chiến thuật làm bài hiệu quả.
Chính vì vậy, Lớp ôn tập cuối kỳ Toán cho các nhà kinh tế được thiết kế như bước tiếp theo hoàn hảo sau khi bạn đã tiếp cận Sổ tay này.

Thông tin chi tiết của lớp học

Với sự hướng dẫn của mentor Phạm Thanh Tuấn – người có hơn 11 năm kinh nghiệm luyện thi và đồng hành cùng hàng nghìn học viên chinh phục môn Toán cho các nhà kinh tế, lớp học sẽ giúp bạn:

nắm vững toàn bộ kiến thức trọng tâm
hiểu sâu bản chất các công thức thay vì học vẹt, giúp bạn tư duy logic và giải bài hiệu quả
áp dụng thành thạo vào các dạng bài thi thật, kể cả những câu hỏi lạ hay phức tạp
tự tin tối ưu điểm số trong kỳ thi cuối kỳ, biến môn Toán từ nỗi lo thành cơ hội để nổi bật trong học tập

=> Nhanh tay đăng ký để trở thành một thành viên của lớp chinh phục Toán cho các nhà kinh tế trực tiếp TẠI ĐÂY
Để biết thêm nhiều thông tin về lớp học cũng như về các môn học tại NEU, bạn có thể liên hệ fanpage: Ôn thi Sinh Viên HL - Đại học Kinh tế Quốc dân
Ngoài ra, bạn có thể tham khảo thêm các khóa ôn luyện các môn khác tại Onthisinhvien.com
Và hãy tham gia cộng đồng sinh viên NEU để trao đổi thêm về kiến thức, kinh nghiệm cho 4 năm đại học tại Group Góc ôn thi NEU - Shares nhé!